曲線運動

平拋運動

曲線運動是指運動軌跡為曲線的運動。當物體運動的速度與其所受到的合外力不在同一直線上的時候，物體便做曲線運動。典型的曲線運動有：平拋運動、斜拋運動、圓周運動等。

速度的方向

如圖，設質點沿所示曲線運動，在某一時刻質點位於$P$點，經過$\Delta t$時間後，質點移動到$Q$點，它的位移為$\Delta s$則質點在這段時間內的平均速度為$v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$。當$\Delta t$趨近於0時，則$Q$點趨近於$P$點，$\Delta s$的方向就趨近於路徑上$P$點的方向，由即時速度的定義可知：$P$點的切線方向，就是質點在$P$的即時速度方向。由此得出：在曲線運動中，質點在某點的速度的方向就是該點的切線方向（指向前進一側）。

曲線運動是變速運動，速度的大小和方向都在變化。做曲線運動的物體的瞬時速度定義為：

$v={\frac {ds}{dt}}$

方向是該點軌跡的切線方向。

物體的瞬時加速度定義為：

$a={\frac {dv}{dt}}$

因為速度方向隨時間變化，所以做曲線運動的物體，加速度和速度一定不在同一直線上。當速度和加速度在同一直線上時，物體做直線運動；當速度和加速度垂直時，物體做勻速圓周運動。

下面討論兩種常見的曲線運動：平拋運動與勻速圓周運動。

平拋運動

槍炮、火箭等從一個位置拋出去的物體做的運動為拋體運動。若拋出去的物體初速度是水平方向的，這種拋體運動叫平拋運動。根據運動疊加原理（一個運動可以看成幾個同時進行的各自獨立的運動的疊加。）可以發現，在忽略空氣阻力時，可以看作是水平方向上的勻速運動與豎直方向上的自由落體運動的疊加。若在豎直平面上建立直角坐標系$xOy$,則物體在任一時刻$t$的水平速度$v_{x}$和豎直方向上的速度$v_{y}$分別為：

${\begin{cases}v_{x}=v_{0}\\v_{y}=gt\end{cases}}$

物體在$t$時間內水平方向的位移和豎直方向的位移分別為：

${\begin{cases}x=v_{0}t\\y={\tfrac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}$

由於速度、位移都是向量，所以，物體在$t$時刻的合速度為$v=v_{x}+v_{y}$及$t$時刻內的合位移$s=x+y$均可由平行四邊形法則求得，如圖所示，上文提到的位移公式可得：$y={\frac {1}{2}}g{\frac {x^{2}}{v_{0}^{2}}}={\frac {g}{2v_{0}^{2}}}\cdot x^{2}$。這就是平拋運動的標準運動方程。

等速率圓周運動

定義：如果質點沿圓周運動的速度不變，即在任意時間間隔內所通過的弧長相等，這種運動叫做等速率圓周運動。

由此可見，等速率圓周運動的速度方向不斷改變，所以等速率圓周運動不是等速運動。因為質點做勻速圓周運動時，每經過一段時間，物體就繞圓周運動一圈，所以勻速圓周運動是一種周期性運動。物體繞圓周運動一圈的時間叫做周期，在單位時間內運行的周期數稱為頻率。在物體作勻速圓周運動時的線速度由以下公式計算：

$v={\frac {2\pi R}{T}}$ 或 $v=2\pi Rf$ （$R$：圓的直徑 $T$：周期 $f$：頻率）

向心力：要使物體作等速率圓周運動，必須時時刻刻給物體一個與線速度方向垂直，沿着半徑指向圓心的力，這個力稱為向心力。物體的運動方向不斷改變就是因為向心力的作用。

向心力是物體作等速率圓周運動的必要條件之一（另一個必要條件是物體必須具有一定的切線速率）只有滿足這兩個條件，物體才能做等速率圓周運動。

向心力的大小滿足下列公式：

$F=m{\frac {v^{2}}{R}}$

向心加速度：由向心力產生的加速度叫做向心加速度，它的方向也是指向圓心的。根據牛頓第二定律

動力學描述

做曲線運動的物體在其運動軌跡的切向（沿速度方向）和法向（垂直於速度方向）均受力。在這兩個方向上，都滿足牛頓第二定律。

切向

$F_{\tau }=m{\frac {dv}{dt}}=ma_{\tau }$

$F_{\tau }$是物體在沿速度方向受到的分力，$a_{\tau }$為物體在此方向的加速度。這個加速度改變物體速度的大小。

法向

在垂直於速度的方向上： $F_{n}=ma_{n}=m{\frac {v^{2}}{\rho }}$

$F_{n}$即為物體收到的法向力（在圓周運動中，此力就是向心力），$v$是這一時刻物體的速度，$\rho$是物體的運動軌跡上，物體所處的這一點的曲率半徑。

法向力改變物體的速度方向，而不改變其大小。

等加速曲線運動

如果一個物體不是垂直向上發射，而是與地平面呈$\Phi$角度射出，那麼，這物體會按照拋物線軌跡移動，它的水平運動與垂直運動可以各自獨立計算。假設，這物體是以最初速率$v_{0}=50m/s$，與地平面呈$\Phi =30^{\circ }$角度射出。

請問在碰到地面以前，它會在空中飛行多遠？

垂直方向，這物體會感覺到$-9.81m/s^{2}$加速度；水平方向，不會感覺到有任何加速度。所以，水平位移是

$\Delta x=x_{f}-x_{i}=v_{i}\cos(\Phi )\ t+{\frac {1}{2}}at^{2}=v_{i}\cos(\Phi )\ t$

為要解答這問題，必須找到$t$值。這是可以做到的，只需分析垂直的運動。假設垂直位移為零，用類似前面直線運動的方法來找$t$值：

$0=v_{i}\sin(\Phi )\ t+{\frac {1}{2}}at^{2}=t(v_{i}\sin(\Phi )+{\frac {1}{2}}at)$

現在求解$t$的表達式，代入原先的水平位移方程式。

$\Delta x=v_{i}\cos(\Phi )\left({\frac {-2v_{i}\sin(\Phi )}{a}}\right)=-{\frac {v_{i}^{2}\sin 2(\Phi )}{a}}=220.70\ m$

參見

• 平移運動
• 勻速運動
• 平拋運動
• 簡諧運動
• 勻速圓周運動
• 斜拋運動

參考資料

• 物理（必修2），人民教育出版社