最內側穩定圓軌道

最內側穩定圓軌道（通常稱為ISCO ）是在廣義相對論中，測試粒子可以穩定地繞大質量物體運行的最小圓形軌道。最內側穩定圓軌道標記了盤的內邊緣，因此在黑洞吸積盤理論中起着重要作用。

數學表述

最內側穩定圓軌道的位置，即ISCO半徑（ $r_{\mathrm {isco} }$ ）取決於中心物體的角動量（自旋）。

非旋轉黑洞

對於非旋轉的大質量物體，其引力場可以用史瓦西度規表示，那麼最內側穩定圓軌道具有半徑

$r_{\mathrm {isco} }={\frac {6\,GM}{c^{2}}}=3R_{S},$

其中 $R_{S}$ 是具有質量為 $M$ 的大質量物體的史瓦西半徑。因此，即使對於非旋轉物體，最內側穩定圓軌道半徑也僅是史瓦西半徑 $R_{S}$ 的三倍，這表明只有黑洞和中子星在其表面之外具有最內側穩定圓軌道。隨着中心物體的角動量增加， $r_{\mathrm {isco} }$也隨之減少。

在ISCO和光子球之間仍然可能存在圓形軌道，但它們是不穩定的。光子球的半徑為

$r={\frac {3\,GM}{c^{2}}}={\frac {3R_{S}}{2}}.$

對於像光子這樣的無質量測試粒子，唯一可能且不穩定的圓形軌道恰好在光子球上。 在光子球以內，不存在圓形軌道。

旋轉黑洞

旋轉黑洞的情況稍有複雜。克爾度規下，赤道面上最內側穩定圓軌道半徑取決於軌道為順行（下式取負號）或逆行（取正號）：

$r_{\mathrm {isco} }={\frac {GM}{c^{2}}}\left(3+Z_{2}\pm {\sqrt {(3-Z_{1})(3+Z_{1}+2Z_{2})}}\right)$

其中

$Z_{1}=1+{\sqrt[{3}]{1-x^{2}}}\left({\sqrt[{3}]{1+x}}+{\sqrt[{3}]{1-x}}\right)$

$Z_{2}={\sqrt {3x^{2}+Z_{1}^{2}}}$

這裡 $x=a/M$ 是為旋轉參數。 隨着黑洞的旋轉速率增加，逆行的ISCO半徑向 $9GM/c^{2}$（a=0時視界半徑的4.5倍）增加；而順行的最內側穩定圓軌道朝着視界半徑減小，並且似乎最終與視界合併，成為一極端黑洞（不過後者是用Boyer-Lindquist坐標假想的結果 ）。

如果粒子也在旋轉，則最內側穩定圓軌道會進一步分裂，這取決於粒子旋轉方向是否與黑洞旋轉方向相同。

外部連結

• Kerr Calculator V2. Leo C. Stein. 2015-10-08. （原始內容存檔於2021-02-16） （英語）.