主齊性空間

數學上，對於 群 G的主齊性空間，或者叫 G-旋子（英文：torsor），是一個集合 X， G在其上自由並可遞地作用。也即，X是G的齊性空間，滿足每個點的定點子群都是平凡群。

在其它範疇中有類似的定義，其中

• G是一拓撲群， X是一拓撲空間，而作用是連續的，
• G是一李群， X是一光滑流形而作用是光滑的，
• G是一代數群， X是一代數簇而作用是正則的。

定義

若 G是非交換的，則必須根據作用是在左或右分清左或右主齊性空間。本條目使用右作用作為代表。要更顯式地給出定義，我們說X是一個G-主齊性空間，如果存在一個（適當地範疇中的）映射X × G → X，滿足

$x\cdot 1=x$

$x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h$

對於所有 x ∈ X和所有g，h ∈ G成立，並且滿足如下映射 X × G → X × X

$(x,g)\mapsto (x,x\cdot g)$

為同構。注意這表示 X和G是同構的，但是—很基本的一點是—在X中沒有特別的'幺元'。也即，X看起來和G一樣，但是我們需要忘記哪一點是幺元。這個概念經常在數學中作為通向內蘊觀點的一個途徑，常見的說法為『扔掉原點』。

因為X不是一個群，我們不能將元素相加；但是我們可以取它們的『差』。也就是，存在一個映射X × X → G將(x，y)映到一個唯一的元素 g ∈ G，滿足y = x·g。

例子

每個群 G可以將自己視為一個在左乘或者右乘作用下的左或右G-主齊性空間。

另外一個例子是仿射空間的概念：向量空間V之下的仿射空間 A的想法可以簡潔地表述為A是V作為平移的加法群作用的主齊性空間。

給定向量空間 V，可以將G取作一般線性群GL(V)，而X取作所有（有序）基的集合。則G通過作用在V中的向量上而作用於X；並且它可遞地作用，因為任何基可以通過G轉換成為另一個。而且，一個固定一個基中每個向量的線性變換會固定所有V中的v，因此它是一般線性群 GL(V)的麼元，也就是說G的作用是自由的：所以X確實是一個主齊性空間。在線性代數中跟隨基的依賴性的一個論證辦法就是跟蹤X中的變量x。

應用

主齊性空間概念是主叢的一個特殊情況：它就是基空間為一點的主叢。換句話說，主叢的局部理論就是一族依賴於基空間中的參數的主齊性空間的理論。可以通過取叢的一個截面來給定「原點」 - 這樣的截面通常是局部地在基空間上存在 - 也就是叢局部平凡，因此局部地結構就是卡積的結構。但是截面經常不是全局存在的。例如一個微分流形M有一個和其切叢相應的標架主叢。全局截面只有當M是可平行化時才存在；而那是很強的拓撲限制。

在數論中，有一個（看似不同的）使用主齊性空間的原因，就是為了在域K上定義橢圓曲線E（以及更一般的交換簇）。一旦理解了這點，很多其它例子也是同樣的情況，應用於其它的代數群：正交群的二次型，以及射影線性群的Severi-Brauer簇就是兩個例子。

在橢圓曲線情況，對丟番圖方程的意義，在於K可能不是代數閉的。可以存在曲線C，它在K沒有點，而它在更大的域上同構於E，E按定義有K上一點作為它的加法律的麼元。也就是，在這個情況我們應該區分虧格為1的C，和有一個K-點的橢圓曲線E（或者說，有一個解在K中的一個丟番圖方程）。曲線C其實就是E上的主齊性空間，並在K為一個數域的情況構成一個有更豐富結構的集合（Selmer 群理論）。實際上，典型的Q上的平面三次曲線C沒有理由有一個有理點；標準的韋爾斯特拉斯（Weierstrass）模型確總是有一個，也就是無窮遠點，但是必須有一點在K上以將C置入在K上的形式。

這個理論在局部分析中有所發展，導出了Tate-Shafarevich群的定義。通常取主齊性空間理論的方法，首先在代數閉域上，然後回降到更小的域上，這是下降的一個方面。它立刻導致伽羅瓦上同調，因為主齊性空間代表了群上同調 H¹的等價類。

其它用法

主齊性空間一詞也用於沒有可遞性的情況，特別時在層論中。

這個情況下，可以討論在空間 X上的（右）G-主齊性空間 E（X時一個概形／流形／拓撲空間，等等。）作為一個有自由（右）G 作用作用的空間E，滿足如下映射

$E\times _{X}G\rightarrow E\times _{X}E$

（由下式給出）

$(x,g)\mapsto (x,xg)$

為在適當的範疇中的雙射。當在光滑範疇中是雙射。在G--主齊性空間（G 是李群）則是精確主G 叢。 主齊性空間在這個意義下和對應於上同調 H¹(X,G)中的對應的基。

參見

• 埃爾朗根綱領
• 克萊因幾何

外部連結

• Torsors簡介（英文） 作者John Baez