帕里斯法则

裂纹扩展速率与应力强度范围的典型关系图，其中帕里斯-埃尔多安方程可拟合区域B的中心线性区域。

帕里斯法则，也称为帕里斯-埃尔多安方程，是一个裂纹扩展方程，可求得疲劳裂纹的扩展速率。 应力强度因子$K$代表裂纹尖端周围的载荷，在一个荷载周期中，裂纹扩展速率实验中表现为应力强度幅服的函数。 帕里斯方程为：

${\begin{aligned}{da \over dN}&=C\left(\Delta K\right)^{m},\end{aligned}}$

其中，$a$是裂纹长度，是载荷循环$N$中的疲劳裂纹扩展。材料系数和$C$和$m$的值通过实验求得，两者也取决于环境、频率、温度和应力比。

根据裂纹扩展速率${\rm {d}}a/{\rm {d}}N$与$\Delta K$之间的关系，疲劳在构件内积累，达到临界值后，形成初始疲劳裂纹，初始疲劳裂纹在循环应力及环境的共同作用下逐步扩展，即发生亚临界扩展。当裂纹达到临界裂纹长度时发生快速扩展，以致断裂。

已知应力强度因子幅服在各种不同条件下都裂纹扩展速率相关，也是在负载循环中最大和最小应力强度因子之间的差异，定义为：

$\Delta K=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}.$

作为循环载荷作用下的裂纹扩展速率与应力强度因子幅服之间的幂律关系，帕里斯-埃尔多安方程式可以在双对数图上可视化为一条直线，其中x轴表示应力强度因子范围， y轴表示裂纹扩展速率。

$\Delta K$与裂纹扩展速率的关联性，在很大程度上取决于引起裂纹扩展的交变应力与屈服强度相比起来很小这一事实。 因此，即使在像不锈钢这样延展性极强的材料中，裂纹尖端塑性区相对于裂纹长度也很小。

方程给出了单一周期的裂纹扩展。 对于恒幅负载，可以轻松计算单一循环。 但在变幅负载中等效出恒幅负载的循环则需要使用额外的例如雨流计数算法等循环识别技术。

历史

P. C. 帕里斯在1961年的一篇论文中提出了裂纹扩展速率可能取决于应力强度因子的观点。1963 年，帕里斯和埃尔多安在论文中对比了裂纹扩展与应力强度幅服的双对数图上的数据后，间接地提出了该方程，并在旁评论道：“作者们有些犹豫，但无法抵挡住透过资料绘制直线斜率为1/4的诱惑”。

适用范围

应力比

较高的平均应力会增加裂纹扩展的速度，称为平均应力效应。 一个周期的平均应力以应力比$R$表示：

$R={K_{\text{min}} \over K_{\text{max}}},$

或最小应力强度因子与最大应力强度因子之比。 在线弹性断裂状态下，$R$也相当于负载比

$R\equiv {P_{\text{min}} \over P_{\text{max}}}.$

尽管可以根据特定的应力比选择方程系数，但帕里斯-埃尔多安方程式并未明确考虑应力比的影响。 其他裂纹扩展方程，如Forman方程则明确地包含了应力比的影响， Elber方程也透过模拟裂纹闭合的影响而包含了应力比的影响。

中等应力强度范围

巴黎-艾尔段方程式适用于中等扩展率幅服，但不适用于非常低的扩展率幅服。$\Delta K$接近阈值或非常接近材料断裂韧性的数值$K_{\text{Ic}}$  。 临界极限下的交变应力强度定义为：

${\begin{aligned}\Delta K_{\text{cr}}&=(1-R)K_{\text{Ic}}\end{aligned}}$

$\Delta K_{\text{th}}$一个阈值，只有当ΔK大于它时，裂纹才会扩展。双对数尺度上的裂纹扩展速率曲线的斜率所表示指数的值$m$通常位于2和4之间，对于高强度钢等静态断裂韧性较低的材料来说，则$m$可达10 。

长裂缝

由于塑性区域的大小$(r_{\text{p}}\approx K_{I}^{2}/\sigma _{y}^{2})$，与裂纹长度相比较小，$a$（$\sigma _{y}$为屈服应力），采用小规模屈服近似，从而可以使用线弹性断裂力学和应力强度因子。 因此，帕里斯-埃尔多安方程仅在线性弹性断裂机制、拉伸载荷和长裂纹下有效。