AKS素性测试

AKS素性测试（又称Agrawal–Kayal–Saxena素性测试和Cyclotomic AKS test）是一个决定型素性测试算法 ，由三个来自印度坎普尔理工学院的计算机科学家，曼宁德拉·阿格拉瓦尔、尼拉吉·卡亚尔和尼汀·沙克谢纳，在2002年8月6日发表于一篇题为素数属于P的论文。作者们因此获得了许多奖项，包含了2006年的哥德尔奖和2006年的富尔克森奖。这个算法可以在多项式时间之内，决定一个给定整数是素数或者合数。

重要性

AKS最关键的重要性在于它是第一个被发表的一般的、多项式的、确定性的和无仰赖的素数判定算法。先前的算法至多达到了其中三点，但从未达到全部四个。

• AKS算法可以被用于检测任何一般的给定数字是否为素数。很多已知的高速判定算法只适用于满足特定条件的素数。例如，卢卡斯-莱默检验法仅对梅森素数适用，而Pépin测试仅对费马数适用。
• 算法的最长运行时间可以被表为一个目标数字长度的多项式。ECPP和APR能够判断一个给定数字是否为素数，但无法对所有输入给出多项式时间范围。
• 算法可以确定性地判断一个给定数字是否为素数。随机测试算法，例如米勒-拉宾检验和Baillie–PSW，可以在多项式时间内对给定数字进行校验，但只能给出概率性的结果。
• AKS算法并未“仰赖”任何未证明猜想。一个反例是确定性米勒检验：该算法可以在多项式时间内对所有输入给出确定性结果，但其正确性却基于尚未被证明的广义黎曼猜想。

概念

AKS素性测试主要是基于以下定理：整数n (≥ 2)是素数，当且仅当

$(x+a)^{n}\equiv (x^{n}+a){\pmod {n}}$

1

这个同余多项式对所有与n互素的整数a均成立。 这个定理是费马小定理的一般化，并且可以简单的使用二项式定理跟二项式系数的这个特征:

${n \choose k}\equiv 0{\pmod {n}}$ ，对任何 $0<k<n$ ，当且仅当 n 是素数

来证明出此定理。

虽然说关系式 (1) 基本上构成了整个素性测试，但是验证花费的时间却是指数时间。因此，为了减少计算复杂度，AKS改为使用以下的同余多项式：

$(x+a)^{n}\equiv (x^{n}+a){\pmod {x^{r}-1,n}}$

2

这个多项式与存在多项式f与g，令:

$(x+a)^{n}-(x^{n}+a)=(x^{r}-1)g+nf$

3

意义是等同的。

这个同余式可以在多项式时间之内检查完毕。这里我们要注意所有的素数必定满足此条件式（令g = 0则 (3) 等于 (1)，因此符合n必定是素数）。 然而，有一些合数也会满足这个条件式。有关AKS正确性的证明包含了推导出存在一个够小的r以及一个够小的整数集合A，令如果此同余式对所有A里面的整数都满足，则n必定为素数。

历史以及运算时间

在上文引用的论文的第一版本中，作者们证明了算法的渐近时间为O$(\log ^{12}(n))$。换言之，算法使用少于n的二进制数字长度的十二次方。但是，论文证明的时间上界却过于宽松；事实上，一个被普遍相信的关于索菲热尔曼素数分布的假设如果为真，则会立即将最坏情况减至O$(\log ^{6}(n))$。

在这一发现后的几个月中，新的变体陆续出现（Lenstra 2002, Pomerance 2002, Berrizbeitia 2003, Cheng 2003, Bernstein 2003a/b, Lenstra和Pomerance 2003）并依次提高了算法的速度（以改进幅度为序）。由于这些变体的出现，Crandall和Papadopoulos在其科学论文“AKS-类素性测试的实现”（2003年三月发表）中将其称为算法的“AKS-类”。

出于对这些变体和其他回复的回应，论文“素数属于P”稍后被进行了更新，新版本包括了一个AKS算法的正规公式化表述和其正确性证明。（这一版本在数学年刊上发表。）虽然基本思想没有变化，$r$却被采用了新方法进行选择，而正确性证明也变得更加紧致有序。与旧证明依赖于许多不同的方法不同，新版本几乎只依赖于有限域上的分圆多项式的特征。新版本同时也优化了时间复杂度的边界到O$(\log ^{10.5}(n))$。通过筛法获得的其他结果可以将其进一步简化到O$(\log ^{7.5}(n))$。

在2005年，Carl Pomerance和H. W. Lenstra, Jr.展示了一个AKS的变体，可以在$O(\log ^{6}(n))$次操作内完成测试（$n$是被测试数）。对于原算法的$O(\log ^{12}(n))$边界而言，这是一个显著的改进。

算法

整个算法的操作如下：

输入：整数 n > 1

1. 若存在整数a > 0 且b > 1 ，令 n = a^b ；则输出合数
2. 找出最小的 r 令 ord_r(n) > log²(n).
3. 若 对某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，输出合数。(gcd是指最大公约数)。
4. 若 n ≤ r, 输出素数。
5. 对 a = 1 到 $\scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor$的所有数，

   如果 (X+a)ⁿ≠ Xⁿ+a (mod X^r − 1,n), 输出合数。

6. 输出 素数。

这里的 ord_r(n)是n mod r的阶。 另外，这里的log 代表以二为底的对数，$\scriptstyle \varphi (r)$则是r的欧拉函数。

下面说明若n是个素数，那么算法总是会返回素数：由于n是素数，步骤1和3永远不会返回合数。步骤5也不会返回合数，因为(2)对所有素数n为真。因此，算法一定会在步骤4或6返回素数。

对应地，如果n是合数，那么算法一定返回合数：如果算法返回素数，那么则一定是从步骤4或6返回。对于前者，因为n ≤ r， n必然有因子a ≤ r符合1 < gcd(a,n) < n，因此会返回合数。剩余的可能性就是步骤6，在文章中，这种情况被证明不会发生，因为在步骤5中检验的多个等式可以确保输出一定是合数。

例子：n = 31为素数

输入：整数n  =  31 > 1。

1.   若存在整數a > 0 且b > 1 ，令 n  =  ab ；則輸出「合數」。
       for ( b = 2; b < =  log2(n); b +  +  ){
         a = n1/b;
         If ( a是整數 ) 輸出「合數」;
       }
       // a = n1/2...n1/4 = {5.568, 3.141, 2.360}，計算結果不是整數
   

2.   找出最小的 r 令 ordr(n) > log2(n)。
       nextR = True;
       r = 1;
       while ( nextR =  = True ) {
         r +  + ;
         nextR = False
         for ( k = 1;(!nextR) &&k ≤ log2(n); k +  +  ){
           nextR = (nk % r =  = 1 || nk % r =  = 0);
         }
       }
       // 計算結果為：r  =  29
   

3.   若 對某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，輸出「合數」。
       for ( a = r; a > 1; a-- ){
         If ( 1 < gcd(a,n) < n ) 輸出「合數」;
       }
        
       // gcd(29,31) = 1, gcd(28,31) = 1, ..., gcd(2,31) = 1，計算結果為找不到符合的a使得1 < gcd(a,n) < n為真
   

4.   若 n ≤ r, 輸出「質數」。
       If ( n ≤ r ) 輸出「質數」;
        
       // 31 > 29，計算結果n比r大
   

5.   對 a  =  1 到 $\scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor$的所有數，
        如果 (X + a)n≠ Xn + a (mod Xr − 1,n), 輸出「合數」。
        
       for ( a = 1; a ≤ $\scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor$, a +  +  )
         if ( ((X + a)n-(Xn + a)) % (Xr−1,n) ≠ 0 ) 輸出「合數」。
       }
        
       / *  *  * 
       (x + a)31 % (x29-1,31)
         = (((x + a)29 % (x29-1,31)) * (x + a)2 % 31) % (x29-1,31)
         = ((1 + a29 + 29a28x + (406 % 31)a27x2 + (3654 % 31)a26x3 + (23751 % 31)a25x4 + (118755 % 31)a24x5 + (475020 % 31)a23x6 + (1560780 % 31)a22x7 + (4292145 % 31)a21x8 + (10015005 % 31)a20x9 + (20030010 % 31)a19x10 + (34597290 % 31)a18x11 + (51895935 % 31)a17x12 + (67863915 % 31)a16x13 + (77558760 % 31)a15x14 + (77558760 % 31)a14x15 + (67863915 % 31)a13x16 + (51895935 % 31)a12x17 + (34597290 % 31)a11x18 + (20030010 % 31)a10x19 + (10015005 % 31)a9x20 + (4292145 % 31)a8x21 + (1560780 % 31)a7x22 + (475020 % 31)a6x23 + (118755 % 31)a5x24 + (23751 % 31)a4x25 + (3654 % 31)a3x26 + (406 % 31)a2x27 + 29ax28) * (a2 + 2ax + x2)) % (x29-1,31)
         = ((1 + a29 + 29a28x + 3a27x2 + 27a26x3 + 5a25x4 + 25a24x5 + 7a23x6 + 23a22x7 + 9a21x8 + 21a20x9 + 11a19x10 + 19a18x11 + 13a17x12 + 17a16x13 + 15a15x14 + 15a14x15 + 17a13x16 + 13a12x17 + 19a11x18 + 11a10x19 + 21a9x20 + 9a8x21 + 23a7x22 + 7a6x23 +  25a5x24 + 5a4x25 + 27a3x26 + 3a2x27 + 29ax28) * (a2 + 2ax + x2)) % (x29-1,31)
         = ((1 + 2 * 29 + 3) % 31)a2 + a31 + ((2 + 29) % 31)ax + ((29 + 2 * 1) % 31)a30x + x2 + ((3 + 2 * 29 + 1) % 31)a29x2 + ((27 + 2 * 3 + 29) % 31)a28x3 + ((5 + 2 * 27 + 3) % 31)a27x4 + ((25 + 2 * 5 + 27) % 31)a26x5 + ((7 + 2 * 25 + 5) % 31)a25x6 + ((23 + 2 * 7 + 25) % 31)a24x7 + ((9 + 2 * 23 + 7) % 31)a23x8 + ((21 + 2 * 9 + 23) % 31)a22x9 + ((11 + 2 * 21 + 9) % 31)a21x10 + ((19 + 2 * 11 + 21) % 31)a20x11 + ((13 + 2 * 19 + 11) % 31)a19x12 + ((17 + 2 * 13 + 19) % 31)a18x13 + ((15 + 2 * 17 + 13) % 31)a17x14 + ((15 + 2 * 15 + 17) % 31)a16x15 + ((17 + 2 * 15 + 15) % 31)a15x16 + ((13 + 2 * 17 + 15) % 31)a14x17 + ((19 + 2 * 13 + 17) % 31)a13x18 + ((11 + 2 * 19 + 13) % 31)a12x19 + ((21 + 2 * 11 + 19) % 31)a11x20 + ((9 + 2 * 21 + 11) % 31)a10x21 + ((23 + 2 * 9 + 21) % 31)a9x22 + ((7 + 2 * 23 + 9) % 31)a8x23 + ((25 + 2 * 7 + 23) % 31)a7x24 + ((5 + 2 * 25 + 7) % 31)a6x25 + ((27 + 2 * 5 + 25) % 31)a5x26 + ((3 + 2 * 27 + 5) % 31)a4x27 + ((29 + 2 * 3 + 27) % 31)a3x28
         = a31 + x2
        
       (x31 + a) % (x29-1,31) = a + x2
        
       (a31 + x2)-(a + x2) = a31-a
        
       ${\sqrt {\varphi (r)}}\log _{2}(n)={\sqrt {28}}*\log _{2}(31)=26.215$
        
       (131-1) % 31 = 0, (231-2) % 31 = 0, (331-3) % 31 = 0, ..., (2631-26) % 31 = 0，計算結果為找不到符合的a使得(X + a)n≠ Xn + a (mod Xr − 1,n)為真
        *  *  * /
   

6.   輸出「質數」。
       31必為質數。
   

延伸阅读

• Dietzfelbinger, Martin. Primality testing in polynomial time. From randomized algorithms to ``PRIMES is in P. Lecture Notes in Computer Science 3000. Berlin: 施普林格科学+商业媒体. 2004. ISBN 3-540-40344-2. Zbl 1058.11070. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. AKS Primality Test. MathWorld. 
• R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
• Article by Borneman, containing photos and information about the three Indian scientists（页面存档备份，存于互联网档案馆） (PDF)
• Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Prime Facts: From Euclid to AKS（页面存档备份，存于互联网档案馆）, by Scott Aaronson (PDF)
• The PRIMES is in P little FAQ（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Anton Stiglic
• 2006 Gödel Prize Citation
• 2006 Fulkerson Prize Citation（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The AKS "PRIMES in P" Algorithm Resource（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Grime, Dr. James. Fool-Proof Test for Primes - Numberphile (video). 布雷迪·哈兰. [2018-05-10]. （原始内容存档于2018-03-23）.  [the video describes the exponential time relation (1), which it calls AKS]