应力-能量张量

应力-能量张量，也称应力-能量-动量张量、能量-应力张量、能量-动量张量、简称能动张量，在物理学中是一个张量，描述能量与动量在时空中的密度与通量(flux)，其为牛顿物理中应力张量的推广。在广义相对论中，应力-能量张量为重力场的源，一如牛顿重力理论中质量是重力场源一般。应力-能量张量具有重要的应用，尤其是在爱因斯坦场方程。

定义

请注意我们将全程使用到爱因斯坦取和原则。当用到坐标表示，x⁰代表时间，其他坐标项x¹, x²及x³则为剩下的空间分量。

应力-能量张量为一个二阶张量 $T^{ab}$ ，给出四维动量或4-动量之a分量通过一坐标为常数x^b之表面的通量。另外要注意的是应力-能量张量是对称(当自旋张量为零时)，亦即

T^{ab}=T^{ba}\,

若自旋张量S非零，则

\partial _{\alpha }S^{\mu \nu \alpha }=T^{\mu \nu }-T^{\nu \mu }

例子

此处举出一些特例：

T^{00}

代表能量密度。

T^{0i}

代表能量通过xⁱ表面之通量，等同于

T^{i0},

第i 动量之密度。

分量

T^{ij}

代表i 动量通过x^j表面之通量。其中较特别的是：

T^{ii}

代表一个类似压力与张应力的物理量——正向应力(normal stress)，而

T^{ij},\quad i\neq j

代表剪应力(shear stress)。

提醒：在固态物理与流体力学中，应力张量所指为应力-能量张量于共动参考系(comoving frame of reference)的空间分量。换句话说，工程学中的应力-能量张量与此处由动量对流项(momentum convective term)表示的应力-能量张量有所差异。

作为诺特流(Noether current)

应力-能量张量满足连续性方程(continuity equation)

\nabla _{b}T^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0

.

此一物理量

\int d^{3}xT^{a0}

是对一类空切面积分，得出能量-动量矢量。分量 $T^{a0}$ 因此可以诠释为（非重力的）能量与动量之局域密度，而连续性方程的第一分量

\nabla _{b}T^{0b}=\nabla \cdot \mathbf {p} -{\frac {\partial E}{\partial t}}=0

则单纯是能量守恒的表述。空间分量 $T^{ij}$ (i, j = 1, 2, 3)则对应到局域非重力的应力分量，其中包括了压力。此一张量为与时空移动相应的守恒诺特流(Noether current)。

于广义相对论中

上面所给的关系并不唯一决定此张量。在广义相对论中，对称形式的张量，也就是额外满足

T^{ab}=T^{ba}

的关系的张量成为时空曲率的源，并且是与规范变换(gauge transformation)相应的流密度(current density)，在此是以坐标变换为例。若有扭率(torsion)，则此张量就不再是对称的。这对应到非零自旋张量的例子。参见爱因斯坦-嘉当重力。

在广义相对论中，平直时空所用的偏导数(偏微分，partial derivative)修改为协变导数(covariant derivative)。这表示连续性方程中用张量表示的能量和动量不是绝对地守恒。在牛顿重力的经典极限，这一点有一个简单的解释：与引力势能互相交换的能量，它没有包含在能动张量中，而动量是通过场传递到其他物体。然而在广义相对论中，无法定义对应“重力场”能量密度与动量密度的物理量；任何意图要定义这些密度的膺张量(pseudo-tensor)均可以透过一个坐标转换使它们局域地消失为零。一般情况下，对于应力─能量张量只是部分的"协变守恒"，我们必须感到心满意足。

在弯曲时空中，一般而言类空积分依赖于类空截面。事实上在一般的弯曲时空中是无法定义一个全局的能量─动量张量（原文误为'vector'）。

爱因斯坦场方程

在广义相对论中，应力-能量张量主要出现在爱因斯坦场方程的研究题材中，方程常写为：

R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}R\,g_{\alpha \beta }={8\pi G \over c^{4}}T_{\alpha \beta },

其中 $R_{\alpha \beta }$ 为里奇张量, $R$ 为里奇标量（对里奇张量做张量缩并(tensor contraction)而得），以及 $G$ 为宇宙重力常数(universal gravitational constant).

特殊情况下的应力-能量张量

孤立粒子

在狭义相对论中，质量为m的无相互作用粒子的应力-能量张量为：

T^{\alpha \beta }[t,x,y,z]={\frac {m\,v^{\alpha }[t]v^{\beta }[t]}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\delta (x-x[t])\delta (y-y[t])\delta (z-z[t])

其中δ是狄拉克δ函数， $v^{\alpha }\!$ 是速度矢量：

{\begin{pmatrix}v^{0}[t]\\v^{1}[t]\\v^{2}[t]\\v^{3}[t]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\{dx[t] \over dt}\\{dy[t] \over dt}\\{dz[t] \over dt}\end{pmatrix}}.

处于平衡状态下的流体的应力-能量张量

对于处于热平衡状态下的流体，应力-能量张量具有一个特别简单的形式：

T^{\alpha \beta }\,=(\rho +{p \over c^{2}})u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }

其中 $\rho$ 是质量-能量密度（牛顿每立方米）， $p$ 是流体静压力（牛顿每平方米）， $u^{\alpha }$ 是流体的四维速度， $g^{\alpha \beta }$ 是度量张量的逆。

四维速度满足：

u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.

在随流体一起移动的惯性参考系中，四维速度为：

u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,

度量张量的倒数为：

g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,,

应力-能量张量是一个对角矩阵：

T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).

电磁应力-能量张量

一个无源电磁场的应力-能量张量为：

T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)

其中 $F_{\mu \nu }$ 是电磁张量。

标量场

满足克莱因-戈尔登方程的标量场 $\phi$ 的应力-能量张量为：

T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi .

各式各样的应力-能量张量

存在有一些互不相等的应力-能量张量。

正则(Canonical)应力-能量张量

其为与时空平移相关的诺特流。

希尔伯特应力-能量张量

应力-能量张量在广义相对论中仅能以动态度规来定义。其定义成一个泛函导数(functional derivative)

T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\mathcal {S}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}

其中S_matter是作用量的非重力部分，为对称的且有规范不变性。

Belinfante-Rosenfeld应力-能量张量

赝张量(Pseudotensors)

赝张量的例子有爱因斯坦赝张量与蓝道-里夫须兹赝张量(Landau-Lifschitz pseudotensor)。

外部链接

Lecture, Stephan Waner
Caltech Tutorial on Relativity — A simple discussion of the relation between the Stress-Energy tensor of General Relativity and the metric

定义

例子