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数列极限

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数列极限(英语:limit of a sequence)为某些数列才拥有的特殊值,当数列的下标越来越大的时候,数列的值也就越接近那个特殊值。

定义

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极限的定义 — 取一复数数列 ,若有一复数 ,使得

“对于任意的正实数 ,存在自然数 ,使得任意的自然数 ,只要 ,则

正式的逻辑语言来表示即

则称数列收敛(convergent to ),并记作

如果不存在这样的复数 ,则称 发散的(divergent)。

实数数列的极限

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从上面的定义可以证明,对实数数列 来说,若

则其极限 一定为实数 ,因为假设 的虚部 的话,则对极限定义取 的话,会存在 ,使得任意的 ,只要

这是矛盾的,所以根据反证法 ,即

基本性质

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唯一性

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定理 — 若数列 的极限存在,则极限是唯一的。[1]:29

证明

设数列 有两个不相等的极限值,则根据假设,对任意的 ,存在 ,使任意 ,只要 就有

这样根据三角不等式,对任意的 , 只要自然数 就有则

这样的话,假设 会得到

这样是矛盾的,故根据反证法 ,也就是 ,故极限唯一。

有界性

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定理 — 若数列有极限,则存在正实数 ,使得对所有的自然数 都有 [1]:29-30

(即 有极限则必为有界数列)

证明

因为有极限,假设有实数 满足

这样的话,对于 ,存在自然数 ,使得任意的自然数 ,只要 ,则

从而

这样的话,令

就会有

故得证。

根据实质条件的意义,上面的定理等价于“如果一个实数数列无界,则这个实数数列一定发散。”[1]:30

注意有界数列不一定有极限,如数列 是一个有界数列,但没有极限。

但是当数列有界,存在一个递增或是递减的子数列的话,则可以证明,数列存在极限。

保序性

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定理 — 有实数数列 ,若

则“ ”等价于“存在 使任何 只要 就有 ”。[1]:30

证明

左至右

,则由前提假设,存在 使任何 只要 就有

从而

这样取 ,左至右就得证。

右至左

由前提假设,对任意的 ,存在 使任何 只要 就有

从而

故得证。

,则

  1. ,则.

审敛法

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其中一个判断数列是否收敛的定理,称为单调收敛定理,和实数完备性相关:单调有界数列必收敛,即是说,有上界的单调递增数列,或是有下界的单调递减数列,必然收敛。

柯西数列

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参考文献列表

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5. 

参看

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