对角线引理

对角线引理（diagonal lemma），又称为不动点定理（fixed point theorem）。在数理逻辑中，对角线引理表明了自然数的形式理论中自指句子的存在——尤其是那些强到足以表示所有可计算函数的形式理论。

由对角线引理确立其存在的句子，将可用于证明一些逻辑的基础限制，例如：哥德尔不完备定理或塔斯基不可定义定理。

背景

记自然数系为$\mathbb {N}$。$T$是一套带有皮亚诺公理的一阶逻辑理论。一个可计算函数$f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$可以在$T$表达，若于$T$中有合式公式${\mathcal {A}}_{f}(x,y)$使得：

$\vdash _{T}\,(\forall y)[(^{\circ }f(n)=y)\Leftrightarrow {\mathcal {A}}_{f}(^{\circ }n,\,y)]$

此处的 $^{\circ }n$ 是指对应于自然数 $n$ 的数码，也就是皮亚诺公理里预先假定的第一数码 $0_{T}$ 的第$n$个后继

${\begin{cases}^{\circ }1:=S(0_{T})\\^{\circ }(n+1):=S(^{\circ }n)\\\end{cases}}$

换句话说数码是自然数的一种推广，会依据第一数码（常数符号）和后继（函数符号）的语意解释不同而有不同的实质意义。

对角线引理需要将$T$内的每条合式公式${\mathcal {A}}$ ，以有限运算步骤可以实现的方法，一对一的对应到一个自然数$\#({\mathcal {A}})$（简写为 $\#_{\mathcal {A}}$），这样的$\#_{\mathcal {A}}$就被称为${\mathcal {A}}$的哥德尔数（注意哥德尔数的指定方法不唯一）。如此一来，${\mathcal {A}}$也可以用数码$^{\circ }\#_{\mathcal {A}}$来表示。

引理的内容

若$T$ 为一套带有皮亚诺公理的一阶逻辑理论，且所有可计算函数于$T$能够表达；而 $T$ 内的合式公式 ${\mathcal {F}}(y)$ 中的变数 $y$ 是完全自由的。则有一条合式公式${\mathcal {C}}$使得

$\vdash _{T}\,{\mathcal {C}}\Leftrightarrow {\mathcal {F}}({}^{\circ }\#_{\mathcal {C}})$

证明

以下使用元语言叙述证明过程。读者可以自己转成以一阶逻辑语言表达的正式证明。

对于 $T$ 中有一完全自由变数 $x$ 的合式公式 ${\mathcal {A}}(x)$，我们定义函数$f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ 为：

$f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=\#[{\mathcal {A}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})]$

其他状况下取 $f(n)=0$ 。显然函数 $f$ 是可计算的，故根据假设，存在合式公式 ${\mathcal {A}}_{f}(x,\,y)$使得

$\vdash _{T}\,(\forall y)\{{\mathcal {A}}_{f}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)},\,y)\Leftrightarrow [y=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\}$ $(1)$

然后对具有自由变数 $y$ 的合式公式 ${\mathcal {F}}(y)$，定义 ${\mathcal {B}}(x)$ 为：

${\mathcal {B}}(x):=(\forall y)[{\mathcal {A}}_{f}(x,\,y)\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)]$

注意到一阶逻辑的公理模式（参见量词公理）

$(\forall y){\mathcal {D}}(y)\Rightarrow {\mathcal {D}}(S)$ $(A4)$

${\mathcal {D}}(S)$ 是简记 ${\mathcal {D}}(y)$ 内所有自由的 $y$ 被取代成项 $S$ 所得到的新合式公式（而并非代表 ${\mathcal {D}}(y)$ 只有一个组成变数）；而(A4)要成立，必须额外要求：若$s_{i}$ 是组成 $S$ 的其中一个变数，则 ${\mathcal {D}}(y)$ 内自由的 $y$ 都不被 $s_{i}$ 的量词约束。（简称为项 $S$ 对变数 $y$ 于合式公式 ${\mathcal {D}}(y)$ 是自由的）

(A4)配合(1)使用MP律有

$\vdash _{T}\,[{\mathcal {A}}_{f}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)},\,y)]\Leftrightarrow [y=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]$

所以从 ${\mathcal {B}}(x)$ 的定义有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Leftrightarrow (\forall y)\{[y=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)\}$ $(2)$

注意到从演绎定理会有

${\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow ({\mathcal {D}}_{2}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}),\,{\mathcal {D}}_{2}\vdash _{T}\,{\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}$ $(D)$

${\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{2},\,{\mathcal {D}}_{2}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}\vdash _{T}\,{\mathcal {D}}_{1}\Rightarrow {\mathcal {D}}_{3}$ $(D^{\prime })$

对定理(2)双箭头的后半部与公理模式(A4)使用MP律，然后套用(D')会有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Rightarrow \{[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow {\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\}$ $(3)$

而从等号的性质（奠基于皮亚诺公理），对所有的项 $S$ 有

$\vdash _{T}S=S$

故(3)配合(D)会有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Rightarrow {\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]$ $(R-right)$

然后对等式和它的公理（同样奠基于皮亚诺公理）施用两次普遍化，然后与(A4)施用MP律两次会有：

若项$S$ 和 $U$ 都对变数 $y$ 于${\mathcal {F}}(y)$自由，则

$\vdash _{T}\,(S=U)\Rightarrow [{\mathcal {F}}(S)\Rightarrow {\mathcal {F}}(U)]$ $(E)$

所以从(D)和演绎定理有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow \{[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=y]\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)\}$ $(4)$

然后注意到另条量词的公理模式（若 $y$ 于合式公式 ${\mathcal {D}}$ 中完全不自由或不曾出现）

$(\forall y)({\mathcal {D}}\Rightarrow {\mathcal {E}})\Rightarrow [{\mathcal {D}}\Rightarrow (\forall y){\mathcal {E}}]$ $(A5)$

然后以普遍化于定理(4)外面补上 $\forall y$，接着与(A5)一起套用MP律会有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow (\forall y)\{[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})=y]\Rightarrow {\mathcal {F}}(y)\}$

所以上面的定理和定理(2)配合(D')有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {F}}[^{\circ }f(\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\Rightarrow {\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})$ $(R-left)$

总结(R-right)和(R-left)，然后带入函数 $f$ 的值有

$\vdash _{T}\,{\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})\Leftrightarrow {\mathcal {F}}\{^{\circ }\#[{\mathcal {A}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {A}}(x)})]\}$ $(5)$

注意 ${\mathcal {B}}(x)$ 内变数 $x$ 是完全自由的，故可以把前面推导中所有的 ${\mathcal {A}}$ 换成 ${\mathcal {B}}$ ，然后定义

${\mathcal {C}}:={\mathcal {B}}(^{\circ }\#_{{\mathcal {B}}(x)})$

那我们可以从定理(5)得到

$\vdash _{T}\,{\mathcal {C}}\Leftrightarrow {\mathcal {F}}(^{\circ }\#_{\mathcal {C}})$

至此引理完成证明。$\Box$

历史

对角线引理跟可计算性理论中的Kleene's recursion theorem有密切的联系，证明方法也相似。

这个定理之所以被冠以“对角线”，是因为它与康托尔的对角论证法的形式很相近。“对角线引理”或“不动点”的词汇并未出现在哥德尔1931年所发表的划时代的论文中，也没有出现在塔斯基1936年的论文中。卡尔纳普是第一个人证明出：只要理论T满足某些条件，那么对于T中的任何式子ψ，都存在式子φ使得φ ↔ ψ(#(φ))在T中是可证的。由于在1934年尚未有可计算函数的概念，卡尔纳普是以别的用词去陈述该结论。Elliott Mendelson 认为是卡尔纳普首先指出哥德尔的论证中隐含地运用了对角线引理，而哥德尔则是在1937年注意到卡尔纳普的工作。