双球坐标系

图 1 ）双球坐标系的几个坐标曲面。红色环面的 $\sigma =45^{\circ }$ 。蓝色圆球面的 $\tau =0.5$ 。黄色半平面的 $\phi =60^{\circ }$ 。z-轴是垂直的，以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P （以黑色的圆球表示），直角坐标大约为 $(0.841,\ -1.456,\ 1.239)$ 。

图 2 ）双极坐标系绘图。红色圆圈变成上图的红色环面（ $\sigma$-坐标曲面），而蓝色圆圈则变成蓝色圆球面（ $\tau$-坐标曲面）。

双球坐标系（英语：Bispherical coordinates）是一种三维正交坐标系。设定二维双极坐标系包含于 xz-平面。设定这双极坐标系的两个焦点 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 包含于 z-轴。将双极坐标系绕着 z-轴旋转，则可以得到双球坐标系。在这二维双极坐标系里，坐标 $\sigma$ 的等值曲线是圆圈。 经过旋转后，圆圈变成一个环面，而圆圈的圆心变成一个包含于 xy-平面的圆圈，称为环心圆。称环心圆至环面的距离为环小半径。

基本定义

在三维空间里，一个点 P 的双球坐标 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 最常见的定义是

$x=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi$ 、

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi$ 、

$z=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ ；

其中，$(x,\ y,\ z)$ 是直角坐标，$\sigma$ 坐标是 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的弧度，$\tau$ 坐标是点 P 离两个焦点的距离 $d_{1}$ 与 $d_{2}$ 的比例的自然对数：

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$ 。

坐标曲面

每一个红色的 $\sigma$-坐标曲面都是包含了两个焦点 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 环面。，每一个环面的环心圆都不相同。这些环心圆都包含于 xy-平面。环小半径为

$z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$ 。

当绝对值 $\left|\sigma \right|$ 增加时，环小半径会减小，环心圆会靠近原点。当环心圆与原点同点时，$\left|\sigma \right|$ 达到最大值 $\pi /2$ 。

每一个蓝色的 $\tau$-坐标曲面都是不相交的圆球面。每一个圆球面都包围着一个焦点；圆球心都包含于 z-轴。圆球半径为

$x^{2}+y^{2}+(z-a\coth \tau )^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$ 。

它们的圆球心都包含于 z-轴。正值 $\tau$ 的圆球面在 $z>0$ 半空间；而负值 $\tau$ 的圆球面在 $z<0$ 半空间。$\tau =0$ 曲线则与 xy-平面同平面。当 $\tau$ 值增加时，圆球面的半径会减少，圆球心会靠近焦点。

逆变换

图 3 ）点 P 的坐标 $\sigma$ 与 $\tau$ 的几何意义。在一个方位角 $\phi$ 为常数的平面里，双球坐标系变成双极坐标系。$\sigma$ 是角 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的弧度。$\tau$ 是点 P 离两个焦点的距离 $d_{1}$ 与 $d_{2}$ 的比例的自然对数。$\sigma$ 与 $\tau$ 的等值曲线都是圆圈，分别以红色与蓝色表示。两条等值曲线以直角相交（表示在洋红色的方盒里）。

双球坐标 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 可以用直角坐标 $(x,\ y,\ z)$ 来表示。方位角 $\phi$ 的公式为

$\tan \phi ={\frac {y}{x}}$ 。

点 P 与两个焦点之间的距离是

$d_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}$ 、

$d_{2}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}$ 。

$\tau$ 是 $d_{1}$ 与 $d_{2}$ 的比例的自然对数：

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$ 。

如图 3 ，$\angle F_{1}PF_{2}$ 是两条从点 P 到两个焦点的线段 之间的夹角。这夹角的弧度是 $\sigma$ 。用余弦定理来计算：

$\cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}$ 。

标度因子

双球坐标 $\sigma$ 与 $\tau$ 的标度因子相等：

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 。

方位角的标度因子为

$h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 。

无穷小体积元素是

$dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}}d\sigma d\tau d\phi$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ ， $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用 $(\sigma ,\ \tau ,\ z)$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

双球坐标有一个经典的应用，这是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里，双球坐标允许分离变数法的使用。一个典型的例题是，有两个不同半径的圆球导体，请问其周围的电位与电场为什么？应用双球坐标，我们可以精致地分析这个问题。

参考目录

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 665–666.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 113. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 110–112 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)